Question

已知函數f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x），其中a＞0且a≠1．
（1）求函數f（x）+g（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）+g（x）的奇偶性，并證明；
（3）若f（x）＞g（x），求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

1-x＞0 1+x＞0

，由此求得x的范圍，即為函數的定義域．
（2）設F（x）=f（x）+g（x），根據它的定義域（-1，1），關于原點對稱，且（-x）=F（x），得F（x）為偶函數
（3）分a＞1和0＜a＜1兩種情況，利用函數的單調性及對數函數的定義域，分別求出x的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得

1-x＞0 1+x＞0

，即

x＜1 x＞-1

，解得-1＜x＜1，
所以定義域為：（-1，1）．-----（4分）
（2）設F（x）=f（x）+g（x）=log_a（1-x）+log_a（1+x），由于F（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱，
而且 F（-x）=log_a（1+x）+log_a（1-x）=F（x），
所以，F（x）為偶函數．------（8分）
（3）當a＞1時，由log_a（1-x）＞log_a（1+x），可得 1-x＞1+x，x＜0，所以-1＜x＜0．
當0＜a＜1時，由log_a（1-x）＞log_a（1+x），可得1-x＜1+x，x＞0，所以0＜x＜1．
綜上，當a＞1時，x的取值范圍為（-1，0）；當0＜a＜1時，x的取值范圍為（0，1 ）．-------（12分）

點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，對數函數的定義域，函數的奇偶性的判斷方法，屬于中檔題．