Question

已知函數f（x）=log₂

1+x

1-x

（1）求f（x）的定義域；
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）畫出t=

1+x

1-x

，x∈（-1，1）的大致圖象，并討論f（x）的單調性（不須證明）．

Answer 1

分析：（1）由 

1+x

1-x

＞0 及1+x＞0，求得得x的范圍，可得f（x）的定義域．
（2）因為f（x）的定義域關于原點對稱，且f（-x）=log₂

1-x

1+x

=-f（x），可得f（x）是定義域上的奇函數．
（3）由于函數t=

1+x

1-x

=1-

2

x-1

 在（-1，1）上是增函數，圖象如圖所示，又y=log₂t 為增函數，
可得f（x）在定義域（-1，1）上的單調性．

解答：解：（1）由 

1+x

1-x

＞0 及1+x＞0得：-1＜x＜1，
所以，f（x）的定義域為{x|-1＜x＜1}．　（ 4分）
（2）因為，f（x）的定義域為{x|-1＜x＜1}，
且f（-x）=log₂

1-x

1+x

=log₂(

1+x

1-x

)-1
=-log₂

1+x

1-x

=-f（x），
所以，f（x）是定義域上的奇函數． （  8分）
（3）由于函數t=

1+x

1-x

=1-

2

x-1

 在（-1，1）上是增函數，
圖象如圖所示：（10分）
又y=log₂t 為增函數，所以，f（x）在定義域（-1，1）上是增函數．（  12分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性的判斷方法，對數函數的圖象、性質應用，屬于中檔題．