Question

【題目】已知圓A：（x+1）2+y2＝16，圓C過點B（1，0）且與圓A相切，設圓心C的軌跡為曲線E．

（Ⅰ）求曲線E的方程；

（Ⅱ）過點B作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與E交于M，N兩點，直線l2與圓A交于P，Q兩點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】

（Ⅰ）由題意畫出圖形，根據橢圓的定義和性質求出a，b，則橢圓方程可求；

（Ⅱ）求出兩直線垂直于坐標軸時的值，當兩直線斜率存在且不為0時，設l1：y＝k（x﹣1），則l2：y，分別求出|MN|，|PQ|的值，可得關于k的函數，利用配方法求值域．

（Ⅰ）圓A：（x+1）2+y2＝16的圓心A（﹣1，0），半徑r＝4，如圖，

由圖可知，|CA|+|CB|＝r＝4，

∴圓心C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，且c＝1，2a＝4，a＝2．

∴b．

則曲線E的方程為；

（Ⅱ）如圖，當l1⊥x軸，l2⊥y軸時，；

當l1⊥y軸，l2⊥x軸時，；

當兩直線斜率存在且不為0時，設l1：y＝k（x﹣1），

則l2：y．

聯立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．

設M（x1，y1），N（x2，y2），

則，，

∴|MN||x1﹣x2|

．

圓心A到直線x+ky﹣1＝0的距離d，

則|PQ|＝2．

∴．

∵k2+1＞1，∴，則，

∴∈（），

綜上，的取值范圍為[]．