Question

有一個四棱錐，底面是一個等腰梯形，并且腰長和較短的底長都是1，有一個底角是60°，又側棱與底面所成的角都是45°，則這個棱錐的體積是

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：如圖，容易求出底面等腰梯形ABCD的面積．利用側棱與底面所成的角都是45°，確定出頂點P在底面的射為RT△BAC外心．即為BC中點O，得出高PO，利用錐體體積公式計算即可．
解答：解：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=AB=DC=1，∠ABC=60°，過A作AH⊥BC于H，
則BH=BA•cos60°=．AH=．
根據等腰梯形的性質，下底BC=AD+2BH=2．設O為BC中點，則BO=OC=1，△ABO為正三角形，∠BAO=60°，△AOC為等腰三角形，∠OAC=30°，
∴∠BAC=90°．
因為側棱與底面所成的角都是45°，所以頂點P在底面的射影到ABCD各頂點的距離相等，即為等腰梯形ABCD 的外接圓的圓心，也為RT△BAC外心，即為點O，
∴PO為四棱錐的高．PO=OC=1．
又S梯形ABCD=（AD+BC）×AH==
∴錐體體積V=S_梯形ABCD×PO=
故選C．
點評：本題考查錐體體積的計算，考查空間想象能力、轉化、計算、推理論證能力．關鍵是確定出頂點P在底面的射為RT△BAC外心．