Question

已知函數f（x）=x+

a

x

（a＞0）．
（Ⅰ）求證：f（x）在區間（-∞，-

a

）上是增函數；
（Ⅱ）若f（x）在區間[1，2]上的最小值為5，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數令f′（x）=1-

a

x2

＞0可得x＞

a

，或x＜-

a

，可得結論；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數在區間（0，

a

）單調遞減，在（

a

，+∞）單調遞增，分類討論（1）

a

≤1，（2）1＜

a

＜2，（3）

a

≥2，分別可得最小值，可得關于a的方程，結合a的范圍，解之可得．

解答：解：（Ⅰ）可得x≠0，求導數可得f′（x）=1-

a

x2

，
由f′（x）=1-

a

x2

＞0可得x＞

a

，或x＜-

a

同理由f′（x）＜0可得-

a

＜x＜

a

，
故函數在區間（-∞，-

a

）上是增函數；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數在區間（0，

a

）單調遞減，
在（

a

，+∞）單調遞增，
（1）當

a

≤1時，函數在區間[1，2]上單調遞增，
故在x=1處取最小值，即1+a=5，解得a=4，舍去；
（2）當1＜

a

＜2時，函數在區間（1，

a

）單調遞減，
在（

a

，2）單調遞增，故在x=

a

處取最小值，
可得

a

+

a

a

=5，解之可得a=

25

4

∉（1，4），應舍去；
（3）當

a

≥2時，函數在區間[1，2]上單調遞間，
故在x=2處取最小值，即2+

a

2

=5，解得a=6，符合題意
綜上可得a=6

點評：本題考查函數的單調性的判斷與證明，涉及分類討論的思想，屬中檔題．