Question

設函數f（x）=xsinx在（0，+∞）內的全部極值點按從小到大的順序排列為a₁，a₂，…a_n…，則對任意正整數n必有（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：對函數求導，使得導函數等于0，函數f（x）在（0，+∞）內的全部極值點就是函數y=tanx與y=-x的交點的橫標，觀察兩線的交點，在每一個周期上都有一個交點，且從左向右，交點的位置更靠近漸近線，兩個點之間的橫標的差．
解答：解：∵函數f（x）=xsinx，
∴f^′（x）=sinx+xcosx=0
∴tanx=-x，
∴函數f（x）在（0，+∞）內的全部極值點就是函數y=tanx與y=-x的交點的橫標，
觀察兩條直線的交點，從縱軸向右，在每一個周期上都有一個交點，
且從左向右，交點的位置一次更靠近漸近線，
∴兩個交點之間的橫標之差小于一個周期，大于半個周期，
故選C．
點評：本題考查數列與三角函數的綜合，解題的關鍵是看清題目整理后轉化為兩個基本初等函數的交點的橫標之間的關系．