Question

【題目】拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)（4，4），焦點(diǎn)為F．

（1）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）P是拋物線上一動點(diǎn)，M是PF的中點(diǎn)，求M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（1）拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0）；（2）M的軌跡方程為 y2=2x﹣1．

【解析】

試題（1）由已知設(shè)拋物線解析式為，易得；（2）設(shè)，，，是的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，代入法求的軌跡方程.

試題解析：（1）拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)（4，4），

設(shè)拋物線解析式為y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2

∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0）

（2）設(shè)M（x，y），P（x0，y0），F（1，0），M是PF的中點(diǎn)，則x0+1=2x，0+y0="2y"

∴x0=2x﹣1，y0=2y

∵P是拋物線上一動點(diǎn)，∴y02=4x0

∴（2y）2=4（2x﹣1），化簡得，y2=2x﹣1．

∴M的軌跡方程為 y2=2x﹣1．