Question

（2012•棗莊二模）已知函數(shù)f(x)=2co

s

2

ωx-1+2

3

cosωxsinωx(0＜ω＜1)，直線x=

π

3

是f(x)象的一條對稱軸．
（1）試求ω的值：
（2）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移

2π

3

個單位長度得到，求函數(shù)g（x）在[0，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)f（x）利用二倍角余弦公式和輔助角公式化簡，得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），根據(jù)正弦函數(shù)對稱軸方程的結論得x=

π

3

是方程2ωx+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）的一個解，建立關于ω的方程，結合0＜ω＜1可得ω的值；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的公式，得到g（x）=f（

1

2

(x+

2π

3

)），化簡得g（x）=2cos

x

2

，結合余弦函數(shù)的圖象，不難得到g（x）在[0，

π

2

]上的最大值．

解答：解：f(x)=2co

s

2

ωx-1+2

3

cosωxsinωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
（1）∵直線x=

π

3

是f（x）圖象的一條對稱軸
∴x=

π

3

是方程2ωx+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）的一個解，
即2ω•

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，得ω=

1

2

（3k+1）
∵0＜ω＜1，取k=0，得ω=

1

2

；
（2）y=f（x）圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)=f（

x

2

）的圖象
再將所得圖象向左平移

2π

3

個單位長度，得到y(tǒng)=f（

1

2

(x+

2π

3

)）的圖象，
∴g（x）=f（

1

2

(x+

2π

3

)）=2sin[2•

1

2

•

1

2

(x+

2π

3

)+

π

6

]=2sin（

x

2

+

π

2

）=2cos

x

2

，
∵0≤x≤

π

2

，∴0≤

x

2

≤

π

4

，可得

2

2

≤cos

x

2

≤1
由此可得g（x）∈[

2

，2]，在[0，

π

2

]上的最大值為2．

點評：本題給出含有字母參數(shù)的三角函數(shù)表達式，在已知一條對稱軸的情況下求參數(shù)的值，并求函數(shù)圖象變換后所得函數(shù)的最大值，著重考查了正弦函數(shù)的對稱性、三角函數(shù)中的恒等變換應用和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換等知識，屬于中檔題．