Question

已知集合A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}，函數y=lg

2a-x

x-(a2+1)

的定義域為集合B．
（1）若a=2，求集合B；
（2）若A=B，求實數a的值．

Answer 1

分析：（I）由a=2及對數函數的定義域，直接解分式不等式可求集合B
（II）要求集合A，需要對2與3a+1的大小進行討論分①2＜3a+1，②2=3a+1③2＞3a+1三種情況分別求解集合A，然后根據集合A=B，從而可求a

解答：解：（Ⅰ）由

4-x

x-5

＞0，得4＜x＜5，
故集合B={x|4＜x＜5}；（6分）
（Ⅱ）由題可知，a²+1＞2a
∴B=（2a，a²+1）（8分）
①若2＜3a+1，即a＞

1

3

時，A=（2，3a+1），
又因為A=B，所以

2a=2 a2+1=3a+1

，無解；
②若2=3a+1時，顯然不合題意；
③若2＞3a+1，即a＜

1

3

時，A=（3a+1，2），
又因為A=B，所以

2a=3a+1 a2+1=2

，解得a=-1．
綜上所述，a=-1．（14分）

點評：本題主要考查了集合的相等的應用，解決本題的關鍵是要熟練掌握分式不等式與對數函數的定義，還要注意分類討論的思想在解題中的應用．