Question

橢圓中心是原點O，它的短軸長為，右焦點F（c，0）（c＞0），它的長軸長為2a（a＞c＞0），直線l：與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程和離心率；
（Ⅱ）若，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）設 （λ＞1），過點P且平行于直線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先由條件|OF|=2|FA|列式，求出橢圓的離心率，然后結合短軸長2b=及a²=b²+c²可求a²，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）寫出過點A的直線方程，設出直線與橢圓相交于P、Q兩點的坐標，聯立直線方程和橢圓方程后求出P、Q兩點的橫坐標的和與積，由，得到P、Q兩點的坐標的關系，轉化為橫坐標的關系后，把前面得到的和與積的表達式代入即可求出直線的斜率，則直線方程可求；
（Ⅲ）由向量的坐標表示寫出，，再由 （λ＞1）及P，Q兩點的坐標都適合橢圓方程列式找出P，Q兩點的坐標與λ的關系，最后把要證的等式的兩邊的坐標都用λ和縱坐標表示即可得證．
解答：解：如圖，
（Ⅰ）設橢圓方程為．
由|OF|=2|FA|，得c=2（），整理得：3c²=2a²，∴e=．
聯立，解得：a²=6，b²=2．
∴橢圓的方程為，離心率．
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率顯然存在，設其斜率為k（k≠0），且A（3，0）．
則直線l的方程為y=k（x-3），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯立，得：（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．
由△=（-18k²）²-4（1+3k²）（27k²-6）=12（2-3k²）＞0，得：．
，．
由，得x₁x₂+y₁y₂=0．
即x₁x₂+（kx₁-3k）（kx₂-3k）=
==0．
化簡得：，∴k=，滿足．
（Ⅲ），，
由已知得方程組，解得：．
∵F（2，0），M（x₁，-y₁）．
故=（λ（x₂-3）+1，-y₁）
==．
而．
∴．
點評：本題考查了橢圓標準方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關系，考查了數形結合的解題思想，解答此類問題的關鍵是，常常采用設而不求的方法，即設出直線與圓錐曲線交點的坐標，解答時不求坐標，而是運用根與系數關系求出兩個點的橫坐標的和與積，然后結合已知條件整體代入求解問題，此題還應注意的是要保證直線和橢圓交點的存在性，此題是難題．