Question

9、設(shè)R上的函數(shù)f（x）滿足f（4）=1，它的導函數(shù)的圖象如圖，若正數(shù)a、b滿足f（2a+b）＜1，則z=a+b的取值范圍是（　　）

A、（-2，4）

B、（0，4）

C、（2，4）

D、（-∞，0）

Answer 1

分析：根據(jù)圖象可知，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減，從而由f（2a+b）＜1及f（4）=1，a＞0，b＞0可得，0＜2a+b＜4，利用線性規(guī)劃做出0＜2a+b＜4，所表示的平面區(qū)域，求z=a+b的取值范圍

解答：解：根據(jù)圖象可知，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減
f（2a+b）＜1，f（4）=1，a＞0，b＞0
f（2a+b）＜f（4），則0＜2a+b＜4，
利用線性規(guī)劃的知識可得0＜2a+b＜4，所表示的平面區(qū)域如圖所示的陰影部分
當直線z=a+b過原點時z=0，當直線z=a+b過A（0，4）時z=4
所以，0＜z＜4
故選：B

點評：本題綜合考查了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，二元一次不等式表示平面區(qū)域，線性規(guī)劃求解最優(yōu)解等問題的綜合，是一道很好的試題