Question

某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長（圖中所有黑線的長度和）為10米．當x等于多少米時，窗戶的透光面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：窗戶的透光面積就是外形面積=半圓面積+矩形面積，半圓面積易求，矩形的長為2x，根據材料總長用含x的式子表示寬，再表示出矩形面積，從而得出窗戶的面積表達式，運用函數性質求最大值．

解答：解：設窗戶上半部半圓的半徑為x（m），下半部矩形的寬為y（m），窗戶面積為S（m²），則4y+6x+πx=10，y=

10-6x-πx

4

∵S_半圓=

1

2

πx²，
S矩形=2x•

10-6x-πx

4

=-3x2-

1

2

πx2+5x
S=S_半圓+S_矩形=-3x²+5x=-3[（x-

5

6

）²-

25

36

]=-3（x-

5

6

）²+

25

12

．
∵-3＜0，
∴窗戶面積有最大值．當x=

5

6

時，
S_最大=

25

12

（m²），
所以當窗戶的半圓半徑為

5

6

時，窗戶的透光面積最大，最大面積是

25

12

平方米．

點評：此題的關鍵在表示矩形的寬，涉及周長的有關計算問題，是關于周長、面積計算的綜合題．