Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，∠AA₁C₁=∠BAC₁=60°，設AC₁與AC相交于點O，如圖．
（I）求證：BO⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）求二面角B₁-AC₁-A₁的大�。�

Answer 1

分析：（I）由四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，知AC=A₁C₁，由AC=AA₁，知△AA₁C₁為等邊三角形，由此能夠證明BO⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）連接BA₁交AB₁于E，過E作EF∥BO交OA₁于F，連接OE，由BO⊥平面AA₁C₁C，AC₁?平面AA₁C₁C，知EF⊥AC₁，由OF⊥AC₁，OF∩EF=F，EF，OF?平面OA₁B，知AC₁⊥平面OA₁B，由OE?平面OA 1 B，知AC₁⊥OE，由此得到∠EOF是二面角的平面角，從而能求出二面角B₁-AC₁-A₁的大小．

解答：解：（I）∵四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，∴AC=A₁C₁，
∵AC=AA₁，∴AA₁=A₁C₁，∴∠AA₁C₁=60°，
∴△AA₁C₁為等邊三角形，
同理△ABC₁是等邊三角形，
∵O為AC₁的中點，∴BO⊥AC₁，
∵BO?平面ABC₁，平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，
∴平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，
由面面垂直的性質定理知BO⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）連接BA₁交AB₁于E，過E作EF∥BO交OA₁于F，連接OE，
∵BO⊥平面AA₁C₁C，AC₁?平面AA₁C₁C，∴EF⊥AC₁，
又∵OF⊥AC₁，OF∩EF=F，
EF，OF?平面OA₁B，
∴AC₁⊥平面OA₁B，
∵OE?平面OA 1 B，∴AC₁⊥OE，
∴∠EOF是二面角的平面角，
在直角三角形EOF中，OF=

1

4

CA1=

3

2

，
EF=

1

2

BO=

3

2

，
∴∠EOF=

π

4

，故二面角B₁-AC₁-A₁的大小為

π

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．