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【題目】若點(p,q),在|p|≤3,|q|≤3中按均勻分布出現.
(1)點M(x,y)橫、縱坐標分別由擲骰子確定,第一次確定橫坐標,第二次確定縱坐標,則點M(x,y)落在上述區域的概率?
(2)試求方程x2+2px﹣q2+1=0有兩個實數根的概率.

【答案】
(1)解:根據題意,點(p,q),在|p|≤3,|q|≤3中,即在如圖的正方形區域,

其中p、q都是整數的點有6×6=36個,

點M(x,y)橫、縱坐標分別由擲骰子確定,即x、y都是整數,且1≤x≤3,1≤y≤3,

點M(x,y)落在上述區域有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),有9個點,

所以點M(x,y)落在上述區域的概率P1=


(2)解:|p|≤3,|q|≤3表示如圖的正方形區域,易得其面積為36;

若方程x2+2px﹣q2+1=0有兩個實數根,則有△=(2p)2﹣4(﹣q2+1)≥0,

解可得p2+q2≥1,為如圖所示正方形中圓以外的區域,其面積為36﹣π,

即方程x2+2px﹣q2+1=0有兩個實數根的概率,P2=


【解析】(1)是古典概型,首先分析可得|p|≤3,|q|≤3整點的個數,進而分析可得點M的縱橫坐標的范圍,可得M的個數,由古典概型公式,計算可得答案;(2)是幾何概型,首先可得|p|≤3,|q|≤3表示正方形區域,易得其面積,進而根據方程x2+2px﹣q2+1=0有兩個實數根,則有△=(2p)2﹣4(﹣q2+1)≥0,變形可得p2+q2≥1,分析可得其表示的區域即面積,由幾何概型公式,計算可得答案.
【考點精析】根據題目的已知條件,利用幾何概型的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握幾何概型的特點:1)試驗中所有可能出現的結果(基本事件)有無限多個;2)每個基本事件出現的可能性相等.

練習冊系列答案
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8

9

7

9

7

6

10

10

8

6

10

9

8

6

8

7

9

7

8

8


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