Question

已知S_n是等差數列{a_n}前n項的和，且S₄=2S₂+4，數列{b_n}滿足bn=

1+an

an

，對任意n∈N₊都有b_n≤b₈成立，則a₁的取值范圍是

（-7，-6）

．

Answer 1

分析：由S₄=2S₂+4，能導出d=1．由bn=1+

1

an

，知bn=1+

1

n+a1-1

，再由對任意n∈N₊都有b_n≤b₈成立，知對a_n的正數部分，

1

an

遞減，而b₈是b_n中的最大的，說明數列{a_n}前7項必然為負值才能保證

1

an

前7項比第8項小，由此能求出a₁的取值范圍．

解答：解：∵S₄=2S₂+4，
∴4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4，
∴d=1．
∵bn=1+

1

an

，
∴bn=1+

1

n+a1-1

，
∵b_n≤b₈，a_n遞增，
∴對a_n的正數部分，

1

an

遞減，
而b₈是b_n中的最大的，
說明數列{a_n}前7項必然為負值才能保證

1

an

前7項比第8項小，
所以

a 7=a1+6＜0 a8=a1+7＞0

，
所以-7＜a₁＜-6．
故答案為：（-7，-6）．

點評：本題考查數列和不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．