Question

設二次函數f（x）=x²-ax+b，若f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜2}，函數g（x）=x-1．
（1）求a與b的值；
（2）解不等式f（x）＞cg（x）．

Answer 1

分析：（1）已知二次函數f（x）=x²-ax+b，若f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜2}，可得方程x²-ax+b=0的兩個根為1，2，根據韋達定理求出a與b的值；
（2）根據（1）的解析式，將其代入不等式f（x）＞cg（x），利用十字相乘法進行求解，求出的兩個根，通過分類討論進行求解；

解答：解：（1）二次函數f（x）=x²-ax+b，若f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜2}，
說明方程f（x）=x²-ax+b=0兩個根為1和2，
∴1+2=-（-a），1×2=b，
解得a=3，b=2，
（2）由（1）可得f（x）=x²-3x+2，
∵函數g（x）=x-1，
∴f（x）＞cg（x）．可得x²-3x+2＞cx-c，
可得x²-（c+3）x+2+c＞0，
可得（x-2-c）（x-1）＞0，
若c+2＞1即c＞-1，不等式的解集為：{x|x＞c+2或x＜1}；
若c+2＜1即c＜-1，不等式的解集為：{x|x＞1或x＜c+2}；
若c+2=1即c=-1，不等式的解集為：{x|x≠1}；
∴不等式f（x）＞cg（x）的解集為：
若c＞-1，不等式的解集為：{x|x＞c+2或x＜1}；
若c＜-1，不等式的解集為：{x|x＞1或x＜c+2}；
若c=-1，不等式的解集為：{x|x≠1}；，

點評：此題主要考查不等式的解集問題，解題的過程的中用到了分類討論的思想，是一道基礎題；