Question

設(2

x

-

3

x

)n展開式中第2項的系數與第4項的系數的比為4：45，試求x²項的系數．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項求出第r+1項，求出第2項的系數與第4項的系數列出方程求得n，再令x的指數為2得系數．

解答：解：第r+1項
Tr+1=

C

r n

•(2

x

)n-r•(

-3

x

)r=

C

r n

•2n-r•(-3)rx

n

2

-

3r

2

，
∴

C 1 n •2n-1•(-3)

C 3 n •2n-3•(-3)3

=

4

45

，
即

4•6n

9•n(n-1)(n-2)

=

4

45

，
∴n²-3n-28=0，
∴n=7或n=-4（舍負）．
令

n

2

-

3r

2

=2，即

7

2

-2=

3r

2

，
∴r=1．
∴x²項的系數C₇¹•2^7-1•（-3）=-1344．

點評：本題考查二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．