Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

，且經過點M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l不過點M，試問k_MA+k_MB是否為定值？并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵

c

a

=

3

2

，∴

b

a

=

1

2

，-----------------------------------------------------（2分）
依題意設橢圓方程為：

x2

4b2

+

y2

b2

=1
把點（4，1）代入，得b²=5
∴橢圓方程為

x2

20

+

y2

5

=1---------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）把y=x+m代入橢圓方程得：5x²+8mx+4m²-20=0，
由△＞0可得64m²-20（4m²-20）＞0
∴-5＜m＜5---------------------------------------------------（6分）
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

，-----------------------（8分）
∴k_MA+k_MB=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

2x1x2-(m-5)(x1+x2)-8(m-1)

(x1-4)(x2-4)

=0，
∴k_MA+k_MB為定值0．------------------（12分）