Question

已知單調遞增的等比數列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項
①求數列{a_n}的通項公式；
②設b_n=a_nlog₂a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：①根據條件，建立方程組即可求出數列{a_n}的通項公式；
②利用錯位相減法求出數列的前n項和S_n

解答：解：①∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
即 a1q+a1q3-2a1q2=4，
又a₂+a₃+a₄=28，
即a1q+a1q2+a1q3=28，
∴q=

1

2

（舍去）或q=2，
∴a₁=2，
∴a_n=2ⁿ．
②由①知a_n=2ⁿ．
∴b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，
∴Sn=1?2+2?22+???+n?2n，
2Sn=22+2?23+???+(n-1)?2n+n?2n+1 
∴兩式相減得，-Sn=2+22+23+???+2n-n?2n+1=(1-n)?2n+1-2，
即Sn=2+(n-1)?2n+1．

點評：本題主要考查數列的通項公式和前n項和的計算，要求熟練掌握錯位相減法進行求和，考查學生的計算能力．