Question

已知點M是拋物線y²=8x上的動點，F為拋物線的焦點，點A在圓C：（x-3）²+（y+1）²=1上，則|AM|+|MF|的最小值為

4

．

Answer 1

分析：先根據拋物線方程求得準線方程，過點M作MN⊥準線，垂足為N，根據拋物線定義可得|MN|=|MF|，問題轉化為求|MA|+|MN|的最小值，根據A在圓C上，判斷出當N，M，C三點共線時，|MA|+|MN|有最小值，進而求得答案．

解答：解：拋物線y²=8x的準線方程為：x=-2
過點M作MN⊥準線，垂足為N
∵點M是拋物線y²=8x的一點，F為拋物線的焦點
∴|MN|=|MF|
∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN|
∵A在圓C：（x-3）²+（y+1）²=1，圓心C（3，-1），半徑r=1
∴當N，M，C三點共線時，|MA|+|MF|最小
∴（|MA|+|MF|）_min=（|MA|+|MN|）_min=|CN|-r=5-1=4
∴（|MA|+|MF|）_min=4
故答案為：4

點評：本題的考點是圓與圓錐曲線的綜合，考查拋物線的簡單性質，考查距離和的最小．解題的關鍵是利用化歸和轉化的思想，將問題轉化為當N，M，C三點共線時，|MA|+|MF|最小．