【題目】在平面直角坐標系中,圓
外的點
在
軸的右側運動,且
到圓
上的點的最小距離等于它到
軸的距離,記
的軌跡為
.
(1)求的方程;
(2)過點的直線交
于
,
兩點,以
為直徑的圓
與平行于
軸的直線相切于點
,線段
交
于點
,證明:
的面積是
的面積的四倍.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
法一:(1)設P(x,y),x>0,F(1,0).由點P在⊙F外,可得點P到⊙F上的點的最小距離為|PF|﹣1,由題意可得:|PF|﹣1=x,利用兩點之間的距離公式即可得出.
(2)設N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2).則D(,
).由題意可設直線AB的方程為:y=k(x﹣1)(k≠0).與拋物線方程聯立化為:k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0.利用根與系數的關系、中點坐標公式可得D,M,N的坐標.再利用三角形面積計算公式即可得出.
法二:(1)由題意得,點到圓
的距離
等于
到直線
的距離,根據拋物線的定義求得軌跡方程. (2)設
,
,由題意可設直線AB的方程為:
與拋物線方程聯立,利用根與系數的關系、中點坐標公式可得D的坐標,結合
,可得
,進而求出N的坐標,利用點的位置關系得到面積的關系.
法三:(1)與法一同;(2)設,
,由題意可設直線AB的方程為:
與拋物線方程聯立,利用根與系數的關系、中點坐標公式可得D,M的坐標,利用斜率公式計算得到
,再利用長度關系得到面積的關系.
解法一:(1)設,依題意
,
.
因為在圓
外,所以
到圓
上的點的最小距離為
依題意得,即
,
化簡得的方程為
.
(2)設,
,
,則
.
依題意可設直線的方程
,
由得
.
因為,
所以,
則有,故
,
由拋物線的定義知.
設,依題意得
,所以
.
又因為,所以
,
解得,所以
.,
因為在拋物線上,所以
,即
,
所以,
,
故
解法二:(1)設,依題意
.
因為在圓
外,所以
到圓
上的點的最小距離為
.
依題意得,點到圓
的距離
等于
到直線
的距離,
所以在以
為焦點,
為準線的拋物線上.
所以的方程為
..
(2)設,
,
因為直線過
,依題意可設其方程
由得
,
因為,所以
,
則有.
因為是
的中點,所以
.
由拋物線的定義得.,
設圓與
相切于
,
因為與拋物線相交于
,所以
,且
,
所以,即
,解得
,
設,則
,且
,所以
,
因為,所以
為
的中點,所以
,
又因為為
的中點,
,所以
.
解法三:(1)同解法一.
(2)設,
,連結
,
.
因為直線過
,依題意可設其方程
由得
.,
因為,所以
,
所以.
因為,
,又因為
,
所以,解得
,所以
,
所以,故
.
又因為,所以
,從而
.
所以,
又,所以
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為降低汽車尾氣排放量,某工廠設計制造了、
兩種不同型號的節排器,規定性能質量評分在
的為優質品.現從該廠生產的
、
兩種型號的節排器中,分別隨機抽取500件產品進行性能質量評分,并將評分分別分成以下六個組;
,
,
,
,
,
,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)設500件型產品性能質量評分的中位數為
,直接寫出
所在的分組區間;
(2)請完成下面的列聯表(單位:件)(把有關結果直接填入下面的表格中);
|
| 總計 | |
優質品 | |||
非優質品 | |||
總計 | 500 | 500 | 1000 |
(3)根據(2)中的列聯表,能否有的把握認為
、
兩種不同型號的節排器性能質量有差異?
附:,其中
.
0.10 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】曲線C1:y=cosx,曲線C2:y=sin2x,下列說法正確的是( )
A.將C1上所有點橫坐標擴大到原來的2倍,縱坐標不變,再將所得曲線向左平移個單位,得到C2
B.將C1上所有點橫坐標縮小到原來的,縱坐標不變,再將所得曲線向左平移
個單位,得到C2
C.將C1上所有點橫坐標擴大到原來的2倍,縱坐標不變,再將所得曲線向右平移個單位,得到C2
D.將C1上所有點橫坐標縮小到原來的,縱坐標不變,再將所得曲線向右平移
個單位,得到C2
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,bsinA=cosB.
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,△ABC的面積為,求a,c.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校高二奧賽班N名學生的物理測評成績(滿分120分)分布直方圖如下,已知分數在100~110的學生數有21人。
(Ⅰ)求總人數N和分數在110~115分的人數n;
(Ⅱ)現準備從分數在110~115分的n名學生(女生占)中任選2人,求其中恰好含有一名女生的概率;
(Ⅲ)為了分析某個學生的學習狀態,對其下一階段的學習提供指導性建議,對他前7次考試的數學成績x(滿分150分),物理成績y進行分析,下面是該生7次考試的成績。
數學 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
已知該生的物理成績y與數學成績x是線性相關的,若該生的數學成績達到130分,請你估計他的物理成績大約是多少?
附:對于一組數據其回歸線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】若在兩個成語中,一個成語的末字恰是另一成語的首字,則稱這兩個成語有頂真關系,現從分別貼有成語“人定勝天”、“爭先恐后”、“一馬當先”、“天馬行空”、“先發制人”的5張大小形狀完全相同卡片中,任意抽取2張,則這2張卡片上的成語有頂真關系的概率為( )
A.B.
C.
D.
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