Question

已知雙曲線焦點在x軸上、中心在坐標原點O，左、右焦點分別為F₁、F₂，P為雙曲線右支上一點，且，∠F₁F₂P=90°．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若過F₁且斜率為1的直線l與雙曲線的兩漸近線分別交于A、B兩點，△AOB的面積為，求雙曲線的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設雙曲線方程為，，
由，∠F₁F₂P=90°及勾股定理得，
由雙曲線定義得 ．
則．
（Ⅱ）∵，∴，雙曲線的兩漸近線方程為．
由題意，設l的方程為y=x+c，l與y軸的交點為M（0，c）．
若l與y=交于點A，l與y=-交于點B，
由，得；由，得，

=
=，
∴c=4，
∴a=2，則，
故雙曲線方程為．
分析：（Ⅰ）設雙曲線方程為，，由，∠F₁F₂P=90°及勾股定理得，由此能求出雙曲線的離心率．
（Ⅱ）由，知，雙曲線的兩漸近線方程為．設l的方程為y=x+c，l與y軸的交點為M（0，c）．若l與y=交于點A，l與y=-交于點B，由，得；由，得，再由=，能求出雙曲線方程．
點評：本題考查雙曲線的離心率和雙曲線方程的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用雙曲線的性質，合理地進行等價轉化．