Question

如圖，在四邊形ABCD中，

BC

=λ

AD

（λ∈R），|

AB

|=|

AD

|=2，|

CB

-

CD

|=2

3

，且△BCD是以BC為斜邊的直角三角形，則

CB

•

BA

的值為

-4

．

Answer 1

分析：由向量共線的定義，可得BC∥AD．在△ABD中根據三邊的長，利用余弦定理算出cos∠ADB=

3

2

，從而可得∠ADB=

π

6

，得到∠DBC=

π

6

，然后在Rt△BCD中利用三角函數定義算出BC=4．最后利用前面算出的數據，根據數量積的定義算出

BA

•

BC

=4，從而得到

CB

•

BA

的值．

解答：解：∵

BC

=λ

AD

，∴BC∥AD，可得四邊形ABCD為梯形．
∵△ABD中，|

AB

|=|

AD

|=2，∴∠ADB=∠ABD．
∵|

BD

|=|

CB

-

CD

|=2

3

，
∴△ABD中根據余弦定理，得cos∠ADB=

4+12-4

2×2×2 3

=

3

2

，
結合∠ADB∈（0，π），可得∠ADB=

π

6

，從而∠DBC=∠ADB=

π

6

，
∵△BCD是以BC為斜邊的直角三角形，∴BC=

BD

cos π 6

=

2 3

3 2

=4，
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=

π

3

，

|BA|

=2，

|BC|

=4，
∴

BA

•

BC

=

|BA|

•

|BC|

•cos∠ABC=4，由此可得

CB

•

BA

=-

BA

•

BC

=-4．
故答案為：-4

點評：本題在特殊梯形ABCD中，求向量數量積的大�。�著重考查了向量共線定理、解三角形、向量數量積的公式及其運算性質等知識，屬于中檔題．