Question

寫出下列函數的單調增區間:

（1）y=3sin(2x-)；（2）y=2cos(2x+)；（3）y=log₂［sin(2x+)］.

Answer 1

思路分析:考查正、余弦函數的單調性.（1）設Z=2x-，則y=sinZ在［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上是增函數，即2x-∈［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)由此可寫出x的范圍；（2）與（1）類似；（3）根據復合函數同增異減的原則進行求解.

解：（1）設Z=2x-，則y=sinZ在［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上是增函數，

即2x-∈［+2kπ, +2kπ］(k∈Z).

由+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)，

得+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z)，

即+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).

所以，函數y=3sin(2x-)的單調增區間為［+kπ,+kπ］(k∈Z).

（2）由-π+2kπ≤2x+≤2kπ(k∈Z),得+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),

即+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).

所以，函數y=2cos(2x+)的單調增區間為［+kπ,+kπ］(k∈Z).

（3）設u=sin(2x+)，由y=log₂u是增函數,可知y=log₂［sin(2x+)］的增區間就是u=sin(2x+)(u＞0)的增區間.

由y=sinx(y＞0)的圖象可知y=sinx(y＞0)的增區間為(2kπ,2kπ+］(k∈Z)，因此，對于u=sin(2x+)(u＞0),有

2kπ＜2x+≤2kπ+ (k∈Z)，即+2kπ≤2x≤2kπ+(k∈Z).

所以+kπ＜x≤kπ+ (k∈Z).

所以，函數y=log₂［sin(2x+)］的單調增區間為(+kπ,kπ+］(k∈Z).

方法歸納 本題的關鍵在于轉化思想的應用，使用了整體換元法.函數的單調性是函數在定義域內的某個區間上的性質，因此，要求函數的單調區間，應首先求函數的定義域.此外，函數的單調區間應寫成區間的形式.

誤區警示 在求函數的單調區間時，一定要首先求出函數的定義域，然后在函數的定義域內求函數的單調區間，這是一個常被忽略的問題.