Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞c＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上一點P作此圓的切線．切點為T，且|PT|的最小值為

3

2

(a-c)，則橢圓的離心率e的取值范圍是

[

3

5

，

2

2

)

．

Answer 1

分析：利用切線的性質和勾股定理可得|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，利用橢圓的性質可得|PF₂|的最小值為a-c，再利用題意可|PT|的最小值為

3

2

(a-c)，即可得出離心率e 滿足的不等式，再利用b＞c，可得b²＞c²，即a²-c²＞c²，又得出e滿足的不等式，聯立解出即可．

解答：解：∵|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，而|PF₂|的最小值為a-c，
∴

(a-c)2-(b-c)2

≥

3

2

(a-c)，
∴（a-c）²≥4（b-c）²，∴a-c≥2（b-c），
∴a+c≥2b，∴（a+c）²≥4（a²-c²），
化為5c²+2ac-3a²≥0，即5e²+2e-3≥0  ①．
∵b＞c，∴b²＞c²，
∴a²-c²＞c²，∴a²＞2c²，∴e2＜

1

2

．②
由①②解得

3

5

≤e＜

2

2

．
故橢圓離心率的取值范圍為[

3

5

，

2

2

)．
故答案為[

3

5

，

2

2

)．

點評：熟練掌握橢圓的性質、離心率的計算公式、圓的切線的性質、勾股定理、一元二次不等式的解法是解題的關鍵．