Question

已知點(diǎn)F（1，0）和直線(xiàn)l：x=-1，動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離等于到點(diǎn)F的距離．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程
（2）過(guò)點(diǎn)（2，0）作直線(xiàn)交P的軌跡C于點(diǎn)A，B，交l于點(diǎn)M，若點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-3，求|AB|

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，可得點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）求出直線(xiàn)AB的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于它到直線(xiàn)l的距離，
所以點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)、直線(xiàn)x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
所以方程為y²=4x；
（2）由題意，M（-1，-3），
∵直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2，0），∴直線(xiàn)AB的方程為

y+3

0+3

=

x+1

2+1

，即y=x-2
與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，可得x²-8x+4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=8，x₁x₂=4
∴|AB|=

1+1

•

82-4×4

=4

6

．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系．考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．