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【題目】已知拋物線y=﹣ +bx+c與y軸交于點C,與x軸的兩個交點分別為A(﹣4,0),B(1,0).

(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點P在拋物線上,連接PC,PB,若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形,求點P的坐標;
(3)已知點E在x軸上,點F在拋物線上,是否存在以A,C,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點E的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:拋物線的解析式為y=﹣ (x+4)(x﹣1),即y=﹣ x2 x+2;


(2)

解:存在.

當x=0,y═﹣ x2 x+2=2,則C(0,2),

∴OC=2,

∵A(﹣4,0),B(1,0),

∴OA=4,OB=1,AB=5,

當∠PCB=90°時,

∵AC2=42+22=20,BC2=22+12=5,AB2=52=25

∴AC2+BC2=AB2

∴△ACB是直角三角形,∠ACB=90°,

∴當點P與點A重合時,△PBC是以BC為直角邊的直角三角形,此時P點坐標為(﹣4,0);

當∠PBC=90°時,PB∥AC,如圖1,

設直線AC的解析式為y=mx+n,

把A(﹣4,0),C(0,2)代入得 ,解得

∴直線AC的解析式為y= x+2,

∵BP∥AC,

∴直線BP的解析式為y= x+p,

把B(1,0)代入得 +p=0,解得p=﹣

∴直線BP的解析式為y= x﹣

解方程組 ,此時P點坐標為(﹣5,﹣3);

綜上所述,滿足條件的P點坐標為(﹣4,0),P2(﹣5,﹣3);


(3)

解:存在點E,設點E坐標為(m,0),F(n,﹣ n2 n+2)

①當AC為邊,CF1∥AE1,易知CF1=3,此時E1坐標(﹣7,0),

②當AC為邊時,AC∥EF,易知點F縱坐標為﹣2,

∴﹣ n2 n+2=﹣2,解得n= ,得到F2 ,﹣2),F3 ,﹣2),

根據中點坐標公式得到: = =

解得m=

此時E2 ,0),E3 ,0),

③當AC為對角線時,AE4=CF1=3,此時E4(﹣1,0),

綜上所述滿足條件的點E為(﹣7,0)或(﹣1,0)或( ,﹣2)或( ,﹣2).


【解析】本題考查二次函數綜合題、一次函數、勾股定理、平行四邊形的判定和性質、中點坐標公式等知識,解題的關鍵是構建一次函數利用方程組解決點P坐標,學會分類討論,學會用方程的思想解決問題,屬于中考壓軸題.
(1)因為拋物線經過點A(﹣4,0),B(1,0),所以可以設拋物線為y=﹣ (x+4)(x﹣1),展開即可解決問題;
(2)先證明∠ACB=90°,點A就是所求的點P,求出直線AC解析式,再求出過點B平行AC的直線的解析式,利用方程組即可解決問題;
(3)分AC為平行四邊形的邊,AC為平行四邊形的對角線兩種切線討論即可解決問題.

練習冊系列答案
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(3)平面CDM⊥平面ABN;
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A.1
B.2
C.3
D.4

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