Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n(n為奇數) an-2n(n為偶數)

（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）設b_n=a_2n+1+4n-2，n∈N^*，求證：數列{b_n}是等比數列，并求其通項公式；
（3） 求數列{a_n}前100項中的所有奇數項的和S．

Answer 1

分析：（1）分別將n=1，2，3，4代入到a_n+1=

1 2 an+n(n為奇數) an-2n(n為偶數)

中即可得到a₂，a₃，a₄，a₅的值．
（2）先仿照b_n=a_2n+1+4n-2可得到b_n+1=a_2n+3+4（n+1）-2，然后進行整理即可得到b_n+1=

1

2

b_n，從而可求出數列{b_n}的通項公式．
（3）先根據（2）中{b_n}的通項公式求出a2n+1=-(

1

2

)n-4n+2，進而代入即可得到s=a₁+a₃+…+a₉₉
=1-[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)49]-4（1+2+…+49）+2×49，再結合等比數列和等差數列的前n項和的公式即可得到答案．

解答：解：（1）a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

，a5=-

25

4

（2）b_n+1=a_2n+3+4（n+1）-2=a_2n+2-2（2n+2）+4（n+1）-2
=a2n+2-2=

1

2

 a2n+1+(2n+1)-2= 

1

2

bn
∴數列{b_n}是公比為

1

2

的等比數列．
又∵b1=a3+4-2=-

1

2

，∴bn=-(

1

2

)n
（3）由（2）得a2n+1=-(

1

2

)n-4n+2
∴s=a₁+a₃+…+a₉₉=1-[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)49]-4（1+2+…+49）+2×49
=(

1

2

)49-4802

點評：本題主要考查等比數列的證明和數列求和的組合法．考查等差數列和等比數列的前n項和的公式的運用．