Question

已知函數f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab的零點是-3和2．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當函數f（x）的定義域是[0，1]時，求函數f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據函數的零點和方程根的基本關系可知-3和2就是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩個根，再由韋達定理可得到a，b的值，進而可求出函數f（x）的解析式．
（Ⅱ）先求出一元二次函數的對稱軸，再由一元二次函數的性質可得到函數在[0，1]的值域，進而可得到函數f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）-3和2就是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩個根，由韋達定理
-

b-8

a

=-3+2=-1  解得b-8=a

-a-ab

a

=-1-b=-3×2=-6，解得b=5；
代入上面可知a=-3
所以f（x）=-3x²-3x-12
（Ⅱ）當f（x）=-3（x²+x+4）  對稱軸為x=-

1

2

不在區間[0，1]內，所以函數在[0，1]內為單調函數
∵f（0）=-12       f（1）=-18
所以函數在[0，1]內的值域為[-18，-12]
∴函數f（x）的最大值是18，最小值是12．

點評：本題主要考查函數的零點和方程根的基本關系和一元二次方程的韋達定理的應用以及一元二次函數的最值問題．