Question

已知函數f(x)=lg[ax-(

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2

)x]，（ a＞0，a≠1，a為常數）
（1）當a=2時，求f（x）的定義域；
（2）當a＞1時，判斷函數g(x)=ax-(

1

2

)x在區間（0，+∞）上的單調性；
（3）當a＞1時，若f（x）在[1，+∞）上恒取正值，求a應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）根據對數函數的性質可知，真數恒大于零，建立不等關系，解之即可；
（2）在定義域（0，+∞）內任取兩個值x₁，x₂，并規定大小，然后將它們的函數值進行作差比較，確定符號，根據單調性的定義可知該函數的單調性；
（3）根據題意可轉化成lg[ax-(

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2

)x]＞0=lg1，即ax-(

1

2

)x＞1對x∈[1，+∞）恒成立，只需研究y=ax-(

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2

)x在[1，+∞）上的最小值恒大于1即可．

解答：解：(1).2x＞(

1

2

)x，即2x＞2-x?x＞-x，
∴x＞0．f（x）的定義域為（0，+∞）
（2）當a＞1時，函數的定義域為（0，+∞）．任取0＜x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=ax1-(

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2

)x1-ax2+(

1

2

)x2=(ax1-ax2)+(

1

2

)x2-(

1

2

)x1，
由于a＞1，有ax1＜ax2，(

1

2

)x2＜(

1

2

)x1，
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂
∴g(x)=ax-(

1

2

)x在其定義域上是增函數．（也可：由a＞1，知a^x遞增，0.5^x遞減，-（0.5）^x也遞增，故g（x）遞增）
（3）依題意，lg[ax-(

1

2

)x]＞0=lg1，即ax-(

1

2

)x＞1對x∈[1，+∞）恒成立，
由于a＞1時，y=ax-(

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2

)x在[1，+∞) 上遞增，
∴f(1)=lg(a-

1

2

)＞0，得a-

1

2

＞1，∴a＞

3

2

．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及指數函數的單調性和對數函數的定義域，屬于基礎題．