Question

（2009•孝感模擬）如圖，O（0，0）A（1，0）為頂點作△OAP₁，再以P₁和P₁A的中B為頂點作△P₁BP₂，再P₂和P₂B的中C為頂點作△P₂CP₃，…，如此繼續下去．有如下結論：
①所作的正三角形的邊長構成公比為

1

2

的等比數列；
②每一個正三角形都有一個頂點在直線AP₂x=1）上；
③第六個正三角形的不在第五個正三角形邊上的頂點P₆的坐標是(

63

64

，

21

64

，

3

)；
④第n個正三角形的不在第n-1個正三角形邊上的頂點P_n的橫坐標是x_n，則

lim

n→∞

xn=1．
其中正確結論的序號是

①②③④

（把你認為正確結論的序號都填上）．

Answer 1

分析：根據O（0，0）A（1，0）為頂點作△OAP₁，再以P₁和P₁A的中B為頂點作△P₁BP₂，再P₂和P₂B的中C為頂點作△P₂CP₃，…，如此繼續下去，根據規律可判定①②的真假，結合圖形求出點P₆的坐標，可判定③的真假，求出第n個正三角形的不在第n-1個正三角形邊上的頂點P_n的橫坐標x_n，x_n=1-

1

2n-1

，然后求極限可得結論．

解答：解：由題意可得，每一個正三角形的邊長都是上個三角形的邊長的

1

2

，故①正確；
根據圖形的規律可知每一個正三角形都有一個頂點在直線AP₂x=1上，故②正確；
第六個正三角形的邊長為

1

64

，故頂點P₆的橫坐標為

63

64

，P₅的縱坐標為

3

2

-

3

8

-

3

16

=

5 3

16

從而頂點P₆的縱坐標為

5 3

16

+

3

64

=

21 3

64

，故③正確；
第n個正三角形的不在第n-1個正三角形邊上的頂點P_n的橫坐標是x_n，x_n=1-

1

2n-1

，則

lim

n→∞

xn=1，故④正確．
故答案為：①②③④

點評：本題主要考查了等比數列的應用，同時考查了識圖能力，將圖形問題轉化成數列問題解決即可，屬于中檔題．