Question

已知函數f（x）的導函數f'（x）是二次函數，且f'（x）=0的兩根為±1．若f（x）的極大值與極小值之和為0，f（-2）=2．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數在開區間（m-9，9-m）上存在最大值與最小值，求實數m的取值范圍．
（3）設函數f（x）=x•g（x），正實數a，b，c滿足ag（b）=bg（c）=cg（a）＞0，證明：a=b=c．

Answer 1

【答案】分析：（1）設f'（x）=a（x+1）（x-1），則可設，其中c為常數，利用f（x）的極大值與極小值之和為0，可求c的值，利用f（-2）=2，可求a的值，從而可得函數f（x）的解析式；
（2）確定三次函數在開區間上存在的最大值與最小值必為極值，從而可建立不等式，即可求得實數m的取值范圍；
（3）先判斷a，b，c均小于，再利用反證法證明即可．
解答：（1）解：設f'（x）=a（x+1）（x-1），則可設，其中c為常數．
因為f（x）的極大值與極小值之和為0，
所以f（-1）+f（1）=0，即c=0，
由f（-2）=2得a=-3，
所以f（x）=3x-x³；（5分）
（2）解：由（1）得f（x）=3x-x³，且f'（x）=-3（x+1）（x-1）
列表：

x	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）
y'	-		+		-
y	↘	極小值-2	↗	極大值2	↘

由題意得，三次函數在開區間上存在的最大值與最小值必為極值（如圖），
又f（-2）=2，故f（2）=-2，所以1＜9-m≤2，且-2≤m-9＜-1，
解得7≤m＜8；（10分）
（3）證明：題設等價與a（3-b²）=b（3-c²）=c（3-a²），且a，b，c＞0，
所以a，b，c均小于．
假設在a，b，c中有兩個不等，不妨設a≠b，則a＞b或a＜b．
若a＞b，則由a（3-b²）=b（3-c²）得3-b²＜3-c²即b＞c，
又由b（3-c²）=c（3-a²）得c＞a．
于是a＞b＞c＞a，出現矛盾．
同理，若a＜b，也必出現出矛盾．
故假設不成立，所以a=b=c．（15分）
點評：本題主要考查利用導數研究三次函數的圖象與性質等基礎知識，考查靈活運用數形結合、化歸與轉化思想進行運算求解、推理論證的綜合能力．