Question

4．在△ABC中，a、b、c為角A、B、C所對的三邊，已知b²+c²-a²=-bc．
（1）求角A的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，cos（A-C）+cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可求cosA=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），即可求得A的值．
（2）由已知及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得sinAsinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，進(jìn)而可求sinC=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍C∈（0，$\frac{π}{3}$），可得C的值，可求B=$\frac{π}{6}$，由正弦定理解得c，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵b²+c²-a²=-bc．
∴由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{2π}{3}$．
（2）由題意得cos（A-C）-cos（A+C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinAsinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
又∵sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinC=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴C=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{6}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，解得c=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查了余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．