Question

研究函數f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)的性質，分別給出下面結論（　　）
①若x₁=-x₂，則一定有f（x₁）=-f（x₂）；
②函數f（x）在定義域上是減函數；
③函數f（x）的值域為（-1，1）；
④若規定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立，
其中正確的結論有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：分析：根據題意，以此分析命題：①可由函數的奇偶性證得；②可結合①結論，先證x≥0時，函數的單調性，進而得到f（x）的單調性；③與②的判斷方法一樣，先求x≥0時，函數的值域，進而結合奇偶性得到函數在整個定義域上的值域；④由其形式知，此是一個與自然數有關的命題，故采用數學歸納法進行證明，即可得答案．

解答：解：若x₁=-x₂，則一定有f（x₁）=

-x2

1+|-x2|

=-

-x2

1+|x2|

=-f（x₂），故①正確；
當x≥0時，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

為增函數，結合奇函數在對稱區間上單調性相同，可得②錯誤；
由②得當x≥0時，f（x）的值域為[0，1），結合奇函數在對稱區間上，值域對稱，可得③正確；
④當n=1，f₁（x）=f(x)=

x

1+|x|

，f₂（x）=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

，
假設n=k時，f_k（x）=

x

1+k|x|

成立，
則n=k+1時，f_k+1（x）=

x 1+k|x|

1+| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

成立，
由數學歸納法知，④正確．
故選C

點評：點評：本題考查帶絕對值的函數，函數的定義域，單調性，奇偶性，值域，考查全面，方法靈活，這四個問題在研究時往往是同時考慮的．