Question

如圖所示，P是拋物線C：上一點，直線過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，與拋物線C相交于另一點Q．

(1)當點P的橫坐標為2時，求直線的方程；

(2)當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ中點M的軌跡方程，并求點M到軸的最短距離．

Answer 1

解：(1)把代入，得．∴點P坐標為(2，2)．

       由    ①

       得，∴過點P的切線的斜率，直線的斜率，

∴直線的方程為，即

(2)設P()，則．

∵過點P的切線斜率，當時不合題意，∴，

∴直線的斜率，

即直線的方程為   ②

聯立式①②消去y，得．

設Q()，M()．

∵M是PQ的中點，

     ∴

消去，得就是所求的軌跡方程．

由知，∴

上式取等號僅當，即時成立，

所以點M到軸的最短距離是．