Question

設函數y=f（x）的定義域與值域均為R，其反函數為y=f^-1（x），且對任意實數x都有f(x)+

2

3

f-1(x)=

5

3

x．現有數列a₁=1，a2=

5

3

，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）（文）求滿足

m-1

2m+1

＞an對所有n∈N^*恒成立的m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為數列{an}滿足a₁=1，a2=

5

3

，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）^_且 f(x)+

2

3

f-1(x)=

5

3

x  所以f(an+1)+

2

3

f-1(an+1)=

5

3

an+1，化簡得，an+2-an+1=

2

3

(an+1-an)，又因為  b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），所以，可判斷 數列{b_n}是公比為 

2

3

的等比數列，進而可求出數列{b_n}的通項公式． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）中數列{b_n}的通項公式，以及b_n=a_n+1-a_n可得數列{a_n}的遞推公式，再用迭代法求出數列{a_n}的通項公式，就可把

m-1

2m+1

＞an化為含m，n的不等式，求出m在那個范圍時，

m-1

2m+1

＞an對所有n∈N^*恒成立．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=f（a_n），∴a_n=f^-1（a_n+1）
∵任意實數x都有f(x)+

2

3

f-1(x)=

5

3

x，∴f(an+1)+

2

3

f-1(an+1)=

5

3

an+1
∵a_n+1=f（a_n），即a_n=f^-1（a_n+1），∴f（a_n+1）=a_n+2，f^-1（a_n+1）=a_n
∴an+2+

2

3

an=

5

3

an+1，即an+2-an+1=

2

3

(an+1-an)
∵b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁=1，a2=

5

3

∴數列{b_n}是以a2-a1=

5

3

-1=

2

3

為首項，以q=

2

3

為公比的等比數列
故數列{b_n}的通項為bn=(

2

3

)n
（Ⅱ）（文）由bn=an+1-an=(

2

3

)n得a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）
=(

2

3

)n-1+(

2

3

)n-2+…+(

2

3

)2+

2

3

=2[1-(

2

3

)n-1]
又∵a₁=1，∴an=3-

2n

3n-1

（n∈N^*），即數列{a_n}是遞增數列，且a_n＜3（n∈N^*）
∴滿足

m-1

2m+1

＞an對所有n∈N^*恒成立的參數m必須滿足

m-1

2m+1

≥3，即-

4

5

≤m≤-

1

2

．又m≠-

1

2

，故滿足

m-1

2m+1

＞an對所有n∈N^*恒成立的參數m的取值范圍為-

4

5

≤m＜-

1

2

．

點評：本題考查了函數與數列的關系，以及恒成立問題，做題時需細心，找到突破口．