Question

13．已知函數f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是定義在R上的奇函數；
（1）求a、b的值，判斷并證明函數y=f（x）在區間（1，+∞）上的單調性
（2）已知k＜0且不等式f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0對任意的t∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由定義f（-x）=$\frac{-x+a}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$，從而求出a=b=0，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，利用導數性質能證明y=f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞減．
（2）由f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0及f（x）為奇函數得：f（t²-2t+3）＜f（1-k），從而t²-2t+3＞1-k任意的t∈R恒成立，由此能求出實數k的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是奇函數
∴由定義f（-x）=$\frac{-x+a}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$，
∴a=b=0，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
y=f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞減．
證明如下：
∵f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，∴${f}^{'}（x）=\frac{-{x}^{2}+1}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
∵x＞1，∴f′（x）＜0，
∴y=f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞減．
（2）由f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0及f（x）為奇函數得：f（t²-2t+3）＜f（1-k）
因為t²-2t+3≥2，1-k＞1，且y=f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞減，
所以t²-2t+3＞1-k任意的t∈R恒成立，
因為t²-2t+3的最小值為2，所以2＞1-k，∴k＞-1
∵k＜0，∴-1＜k＜0．
∴實數k的取值范圍是（-1，0）．

點評 本題考查實數值的求法，考查函數的單調性的判斷與證明，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．