Question

19．若函數f（x）=e^x（sinx+a）在區間（0，π）上單調遞減，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． [-$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，-$\sqrt{2}$]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 利用導函數研究其單調性即可得答案．

解答 解：由題意：函數f（x）=e^x（sinx+a）
那么：f′（x）=e^x（cosx+sinx+a）=e^x[$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+a]
∵x∈（0，π）
∴$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{5π}{4}$，
則：[sin（x+$\frac{π}{4}$）]_min=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵函數f（x）在區間（0，π）上單調遞減，
∴有$\sqrt{2}$[sin（x+$\frac{π}{4}$）]_min+a≤0，
解得：a≤1，
實數a的取值范圍是（-∞，1]．
故選D．

點評 本題考查了函數單調性的運用求解參數問題，利用了導函數研究原函數的單調性．屬于基礎題．