Question

設函數f(x)=

(x-a)2

x

．
（I）證明：0＜a＜1是函數f（x）在區間（1，2）上遞增的充分而不必要的條件；
（II）若x∈（-∞，0）時，滿足f（x）＜2a²-6恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數的導函數f′（x），證明當0＜a＜1時，f′（x）＞0，從而證明了充分性，再由若函數f（x）在區間（1，2）上遞增，則a的范圍包含（0，1），即證明了不必要性
（II）先將恒成立問題轉化為求函數f（x）在區間（-∞，0）上的最大值問題，再分a＞0，a=0，a＜0三種情況利用導數求函數的最大值，由最大值小于2a²-6，解得a的范圍

解答：解：（I）對函數）f(x)=

(x-a)2

x

求導，得 
 f′(x)=

2(x-a)x-(x-a)2

x2

=

x2-a2

x2

=

(x-a)(x+a)

x2

，
先證充分性：若0＜a＜1，
∵1＜x＜2，∴x-a＞0，x+a＞0，
∴f'（x）＞0
∴函數f（x）在區間（1，2）上遞增．
再說明非必要性：∵f（x）在區間（1，2）上遞增，
∴f'（x）≥0對1＜x＜2恒成立
即

x2-a2

x2

≥0對1＜x＜2恒成立，
x²-a²≥0對1＜x＜2恒成立，
即a²≤x²對1＜x＜2恒成立，
∵1＜x＜2，∴1＜x²＜4，
∴a²≤1，即-1≤a≤1．即推不出0＜a＜1．
∴0＜a＜1是函數f（x）在區間（1，2）上遞增的充分而不必要的條件 
（II）由（I）知f′(x)=

x2-a2

x2

=

(x-a)(x+a)

x2

，
令f'（x）=0，得x₁=a，x₂=-a
①當a=0時，f（x）=x，x∈（-∞，0）時，f（x）＜-6不能恒成立，不符合題意．
②當a＞0時，函數y=f（x）在（-∞，-a）上遞增，在（-a，0）上遞減，
∴函數y=f（x）在（-∞，0）上的極大值為f（-a）
若x∈（-∞，0）時，f（x）＜2a²-6恒成立，
則需f（x）_極大值=f（-a）＜2a²-6
即-4a＜2a²-6，
解得a＞1．
③當a＜0時，函數y=f（x）在（-∞，a）上遞增，在（a，0）上遞減，
∴函數y=f（x）在（-∞，0）上的極大值為f（a）
此時x∈（-∞，0），
若滿足f（x）＜2a²-6恒成立，
則需f（x）_極大值=f（a）=0＜2a²-6
解得a＜-

3

故若x∈（-∞，0）時，滿足f（x）＜2a²-6恒成立，實數a∈(-∞，-

3

)∪(1，+∞)

點評：本題考查了導數在函數單調性中的應用，導數在函數求最值中的應用，不等式恒成立問題的解法，充要條件的證明