Question

已知函數f（x）=xlnx，
（Ⅰ）求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程；
（Ⅲ）設函數g（x）=f（x）-（a+1）x，其中a∈R，求函數g（x）在[1，e]上的最小值（其中e為自然對數的底數）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數的導函數，進而根據導函數的零點對函數的定義域進行分段討論后，可得函數的單調性，從而可求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）設出切點坐標，可得切線斜率，從而可表示出切線方程，代入點（0，-1），求出切點坐標，即可求直線l的方程；
（Ⅲ）求導函數，可得函數g（x）在（0，e^a）上單調遞減，在（e^a，+∞）上單調遞增，分類討論，可得函數g（x）在[1，e]上的單調性，從而可求函數g（x）在[1，e]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）
又∵當f'（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，如下表

∴f（x）在（0，

1

e

）上單調遞減，在（

1

e

，+∞）上單調遞增，在x=

1

e

處取得極小值，且極小值為f（

1

e

）=-

1

e

；
（Ⅱ）設切點為p（a，b），則b=alna，切線的斜率為lna+1，
∴切線l的方程為y-alna=（lna+1）（x-a），
∵切線l過點（0，-1），
∴-1-alna=（lna+1）（0-a），
∴a=1，∴b=0，
∴切線l的方程為y=x-1；
（Ⅲ）函數g（x）=f（x）-（a+1）x=xlnx-（a+1）x，則g′（x）=lnx-a，
由g′（x）=lnx-a＜0，可得0＜x＜e^a；由g′（x）=lnx-a＞0，可得x＞e^a，
∴函數g（x）在（0，e^a）上單調遞減，在（e^a，+∞）上單調遞增．
①e^a≤1，即a≤0時，g（x）在[1，e]上單調遞增，
∴g（x）在[1，e]上的最小值為g（1）=-a-1；
②1＜e^a＜3，即0＜a＜1時，g（x）在[1，e^a）上單調遞減，在（e^a，e]上單調遞增，
∴g（x）在[1，e]上的最小值為g（e^a）=-e^a；
③e≤e^a，即a≥1時，g（x）在[1，e]上單調遞減，
∴g（x）在[1，e]上的最小值為g（e）=-ae，
綜上，a≤0時，g（x）在[1，e]上的最小值為-a-1；
0＜a＜1時，g（x）在[1，e]上的最小值為-e^a；
a≥1時，g（x）在[1，e]上的最小值為-ae．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查函數的極值，考查導數的幾何意義，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，其中根據已知條件求出導函數是解答本題的關鍵．