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已知定義在R上的單調函數f(x)，存在實數x0，使得對于任意實數x1，x2，總有f(x0x1＋x0x2)＝f(x0)＋f(x1)＋f(x2)恒成立．

(1)求x0的值；

(2)若f(x0)＝1，且對任意正整數n，有，求數列{an}的通項公式；

(3)在(2)的條件下，若數列{bn}滿足，將數列{bn}的項重新組合成新數列{cn}，具體法則如下：……，求證：．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)令，得，令，得，，，又因為為單調函數，　　(4分)

　　(Ⅱ)由(1)得，

　　，，，　　(8分)

　　(Ⅲ)由{Cn}的構成法則可知，Cn應等于{bn}中的n項之和，其第一項的項數為[1＋2＋…＋(n－1)]＋1＝＋1，即這一項為2×[＋1]－1＝n(n－1)＋1，Cn＝[n(n－1)＋1]＋[n(n－1)＋3]＋…＋[n(n－1)＋2n－1]＝n2(n－1)＋＝n3　　(10分)

　　

　　當時，

　　　　(14分)

　　解法2：

　　


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

15、已知定義在R上的單調函數f（x）滿足：存在實數x0，使得對于任意實數x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立，則（i）f（1）+f（0）=
0
（ii）x0的值為
1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的單調函數f（x），存在實數x0，使得對于任意實數x1，x2總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且對任意正整數n，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，求Sn和Tn；
（3）若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]對任意不小于2的正整數n都成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的單調函數y=f（x），當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并寫出適合條件的函數f（x）的一個解析式；
（2）數列{an}滿足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)，
①求通項公式an的表達式；
②令bn=(
1
2
)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，試比較Sn與
4
3
Tn的大小，并加以證明；
③當a＞1時，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(log a+1x-log ax+1)對于不小于2的正整數n恒成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•黃岡模擬）已知定義在R上的單調函數f（x），存在實數x0，使得對于任意實數x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且對于任意正整數n，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比較
4
3
Sn與Tn的大小關系，并給出證明；
（3）在（2）的條件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]對任意不小于2的正整數n都成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•廣州三模）已知定義在R上的單調函數f（x），存在實數x0使得對任意實數x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且對任意的正整數n．有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比較
4
3
Sn與Tn的大小關系，并給出證明．

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