Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，長(zhǎng)軸A₁A₂的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M的直線l'與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，若，求直線l'的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓方程為 ，半焦距為c，由題意能夠?qū)С鯽=2，b=，c=1，故橢圓方程為 ．
（II）設(shè)所求l'的方程為y=k（x+4），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量垂直的公式即可求得k值，從而解決問(wèn)題．
解答：解：（I）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為c

（II）點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（-4，0），設(shè)C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），l'的方程為y=k（x+4），代入橢圓方程整理，得

后三個(gè)式子得
解得，代入第一個(gè)中檢驗(yàn)有△＞0，∴，
所以所求直線l’的主程為
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程的應(yīng)用、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于基礎(chǔ)題．