Question

已知函數f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）
（1）當a=1時，求函數f（x）的最值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）試說明是否存在實數a（a≥1）使y=f（x）的圖象與無公共點．

Answer 1

解：（1）函數f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定義域是（1，+∞）
當a=1時，，所以f（x）在為減函數
在為增函數，所以函數f（x）的最小值為=．
（2），
若a≤0時，則，f（x）=＞0在（1，+∞）恒成立，所以f（x）的增區間為（1，+∞）．
若a＞0，則，故當，f′（x）=≤0，
當時，f（x）=≥0，
所以a＞0時f（x）的減區間為，f（x）的增區間為

（3）a≥1時，由（2）知f（x）在（1，+∞）的最小值為，
令=在[1，+∞）上單調遞減，
所以，則＞0，
因此存在實數a（a≥1）使f（x）的最小值大于，
故存在實數a（a≥1）使y=f（x）的圖象與無公共點
分析：（1）先求出函數的定義域，再把a=1代入求出其導函數以及單調區間，即可求出函數f（x）的最值；
（2）先求出函數的導函數，再利用分類討論思想討論導函數對應方程根的大小，進而求出函數f（x）的單調區間；
（3）先由（2）得f（x）在（1，+∞）的最小值為，再求出在[1，+∞）上的最大值，讓其與的值相比較即可求得結論．
點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性和最值的應用．求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的．