Question

二次函數y=x²-2x+2與y=-x²+ax+b（a＞0，b＞0）的圖象在它們的一個交點處的切線相互垂直，則

1

a

+

4

b

的最小值是（　　）

• A、

  18

  5

• B、

  16

  5

• C、4
• D、

  24

  5

Answer 1

分析：先對兩個二次函數進行求導，然后設交點坐標，根據它們在一個交點處的切線相互垂直可得到 a+b=

5

2

，再由

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）×

a+b

5 2

運用基本不等式可求得最小值．

解答：解：∵y=x²-2x+2∴y'=2x-2
∵y=-x²+ax+b的導函數為y'=-2x+a
設交點為（x₀，y₀），則 （2x₀-2）（-2x₀+a）=-1，2x₀²-（2+a）x₀+2-b=0
4x₀²-（2a+4）x₀+2a-1=0，4x₀²-（4+2a）x₀+4-2b=0 
   2a-1-4+2b=0，a+b=

5

2

    
 

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）×

a+b

5 2

=[1+4+

b

a

+4

a

b

]×

2

5

≥

2

5

×（5+2

b a × 4a b

）=

18

5

當且僅當

b

a

=4

a

b

時等號成立．
故選A．

點評：本題主要考查基本不等式的應用和導數的幾何意義，考查基礎知識的綜合應用和靈活能力．基本不等式在解決最值時用途很大，一定要注意用基本不等式的條件“一正、二定、三相等”．