Question

設(shè)函數(shù)y=f （x）滿(mǎn)足f （x+1）=f （x）+1，則方程f （x）=x的根的個(gè)數(shù)是（ ）
A．無(wú)窮個(gè)
B．有限個(gè)
C．沒(méi)有或者有限個(gè)
D．沒(méi)有或者無(wú)窮個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)條件“函數(shù)y=f （x）滿(mǎn)足f （x+1）=f （x）+1”可得f（x）=f（x-1+1）=f（x-1）+1=f（x-2）+1+1=f（0）+x=x，然后討論 f（0）是否為0，從而得到結(jié)論．
解答：解：∵函數(shù)y=f （x）滿(mǎn)足f （x+1）=f （x）+1，
∴f（x）=f（x-1+1）=f（x-1）+1=f（x-2）+1+1=f（0）+x=x  
要么f（0）=0，方程f （x）=x的根的個(gè)數(shù)無(wú)窮個(gè) 
要么f（0）不等于0，方程f （x）=x無(wú)解
故選 D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)的遞推關(guān)系以及根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，解題的關(guān)鍵如何利用條件“函數(shù)y=f （x）滿(mǎn)足f （x+1）=f （x）+1”，屬于中檔題．