Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F為CD的中點.

 

（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；

（Ⅱ）求異面直線AC，BE所成角余弦值；

（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD ∴DE⊥AF  

            又∵AC=AD=CD，F為CD中點     

            ∴AF⊥CD，又∵CD∩D∴AF⊥平面CDE                 

   （Ⅱ）∵DE∥AB    

            取DE中點M，連結AM、CM，

則四邊形AMEB為平行四邊形

            AM∥BE，則∠CAM為AC與BE所成的角    

在中，AC=2a，

AM=   

                        CM=

            由余弦定理得，,

∴異面直線AC、BE所成的角的余弦值為 

   （Ⅲ）延長DA,EB交于點G，連結CG

因為，所以A為GD中點

又因為F為CD中點，所以 

因為AF⊥平面CDE，所以CG⊥平面CDE

故為面和面所成二面角的平面角 

易求