Question

已知平面上三個向量

a

 ，

b

 ，

c

，其中

a

=(1， 2)，
（1）若|

c

|=2

5

，且

a

∥

c

，求

c

的坐標；
（2）若|

b

|=

5

2

，且(

a

+2

b

)⊥(2

a

-

b

)，求

a

與

b

夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設出

c

的坐標，利用它與

a

平行以及它的模等于2

5

，利用待定系數法求出

c

的坐標．
（2）由

a

+2

b

與2

a

-

b

垂直，數量積等于0，求出夾角θ的余弦值的大小．

解答：解：（1）設

c

=(x，y)，由條件有

x2+y2=20 y=2x

，
解得：

x=2 y=4

，或

x=-2 y=-4

，
所以：

c

=(2， 4)，或

c

=(-2，-4)．
（2）設

a

， 

b

的夾角為θ，由(

a

+2

b

)⊥(2

a

-

b

)，
知(

a

+2

b

)•(2

a

-

b

)=0，
即：2

a

2+3

a

•

b

-2

b

2=0，
由于

a

=(1， 2)⇒|

a

| =

1+4

=

5

，
∴

a

 2=5，又|

b

|=

5

2

，
所以：

a

•

b

=

2

3

(

b

2-

a

2)=

5

6

，
又cosθ=

a • b

| a || b |

=

5 6

5 • 5 2

=

5

15

．

點評：本題考查平面上兩個向量平行、垂直的條件，以及利用兩個向量的數量積求兩個向量的夾角．屬于基礎題．