Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AB=AA₁=2，∠BAC=90°，點D是棱B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-ADC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）利用等積變形即可求出．

解答：證明：（Ⅰ）∵A₁B₁=A₁C₁，點D是棱B₁C₁的中點．
∴A₁D⊥B₁C₁．
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得BB₁⊥B₁C．
∵BB₁∩B₁C₁=B₁．
∴A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）∵A₁B₁=A₁C₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，
∴B1C1=2

2

．
∵點D是棱B₁C₁的中點，∴A1D=

2

．
∵A₁A∥平面BB₁C₁C，∴點A與A₁到平面BB₁C₁C的距離相等，
∴VB1-AD=VA-B1CD=

1

3

×

1

2

×

2

×2×

2

=

2

3

．

點評：熟練掌握線面垂直的判定定理和三棱錐的體積計算公式及等積變形是解題的關鍵．