Question

（2011•閔行區三模）已知橢圓

x2

4

+y2=1中心為O，右頂點為M，過定點D（t，0）（t≠±2）作直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）若直線l與x軸垂直，求三角形OAB面積的最大值；
（2）若t=

6

5

，直線l的斜率為1，求證：∠AMB=90°；
（3）在x軸上，是否存在一點E，使直線AE和BE的斜率的乘積為非零常數？若存在，求出點E的坐標和這個常數；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當直線l與x軸垂直，可知A，B點的橫坐標都為t，把x=t代入橢圓方程，即可求出，縱坐標，再利用面積公式，就可把三角形OAB的面積用含t的式子表示，再用均值不等式求出最大值即可．
（2）當t=

6

5

，直線l的斜率為1時，可得直線l的方程，與橢圓方程聯立，求出A，B點的橫坐標之和與之積，再通過判斷直線MA，MB斜率之積是否等于-1，來證明直線MA，MB垂直，：∠AMB=90°．
（3）先假設在x軸上，存在一點E，使直線AE和BE的斜率的乘積為非零常數．設直線方程為：y=k（x-t），
與橢圓方程聯立，求出x₁+x₂，x₁x₂，帶著參數t計算直線AE和BE的斜率的乘積，看是否為非零常數，即可得到假設是否正確．

解答：解：（1）設直線l與橢圓的交點坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
把x=t代入

x2

4

+y2=1可得：y=±

1

2

4-t2

，
則S△OAB=|OD|•|AD|=

1

2

•|t|•

4-t2

≤1，當且僅當t=±

2

時取等號    
（2）由

y=x- 6 5 x2 4 +y2=1

得125x²-240x+44=0，x1x2=

44

125

，x1+x2=

48

25

所以 kAMkBM=

y1y2

(x1-2)(x2-2)

=

(x1- 6 5 )(x2- 6 5 )

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2- 6 5 (x1+x2)+ 36 25

x1x2-2(x1+x2)+4

=

44 125 - 6 5 • 48 25 + 36 25

44 125 -2• 48 5 +4

=

-64

64

=-1⇒∠AMB=90°         
（3）當直線l與x軸不垂直時，可設直線方程為：y=k（x-t），
由

y=k(x-t) x2 4 +y2=1

消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0
則

△＞0 x1+x2= 8k2t 4k2+1 x1x2= 4k2t2-4 4k2+1

①又 

y1=k(x1-t) y2=k(x2-t)

②
若存在定點E（m，0）符合題意，且k_AE×k_BE=s（s為非零常數），則kAEkBE=

y1y2

(x1-m)(x2-m)

=

k2(x1x2-t(x1+x2)+t2)

x1x2-m(x1+x2)+m2

=s
把①、②式代入上式整理得k²[4s（t-m）²-（t²-4）]+s（m²-4）=0（其中m、t、s都是常數）
要使得上式對變量k（k≠0）恒成立，當且僅當

4s(t-m)2-(t2-4)=0 s(m2-4)=0(s≠0)

，解得m=±2
當m=2時，定點E就是橢圓的右頂點（2，0），此時，s=

t+2

4(t-2)

；
當m=-2時，定點E就是橢圓的左頂點（-2，0），此時，s=

t-2

4(t+2)

；  
當直線l與x軸垂直時，由

x=t x2 4 +y2=1

，解得兩交點坐標為A(t，

1

2

4-t2

)，B(t，-

1

2

4-t2

)，
可驗證：kAEkBE=

t+2

4(t-2)

或

t-2

4(t+2)

所以，存在一點E（2，0）（或（-2，0）），使直線AE和BE的斜率的乘積為非零常數

t+2

4(t-2)

（或

t-2

4(t+2)

）．

點評：本題主要考查了直線與橢圓的位置關系的判斷，屬于常規題