Question

已知函數(shù)f(x)=log_a(a－a^x)且a＞1，

（1）求函數(shù)的定義域和值域；

（2）討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；

（3）證明函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱．

 

Answer 1

【答案】

（1）定義域?yàn)?－∞，1)，值域?yàn)?－∞，1)；

（2）f(x)在定義域(－∞，1)上是減函數(shù)；（3）見解析。

【解析】主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。

解：(1)定義域?yàn)?－∞，1)，值域?yàn)?－∞，1)

(2)設(shè)1＞x₂＞x₁

∵a＞1，∴，于是a－＜a－

則log_a(a－a)＜log_a(a－)

即f(x₂)＜f(x₁)

∴f(x)在定義域(－∞，1)上是減函數(shù)

(3)證明：令y=log_a(a－a^x)(x＜1)，則a－a^x=a^y，x=log_a(a－a^y)

∴f^－1(x)=log_a(a－a^x)(x＜1)

故f(x)的反函數(shù)是其自身，得函數(shù)f(x)=log_a(a－a^x)(x＜1＝圖象關(guān)于y=x對稱．